考研名师黄先开指导考研数学_数学复习指导_考研数学_

考研名师黄先开指导考研数学

2005-3-7 13:49:19 考研共济网

问：请老师为大家讲解考研应注意的问题，主要讲解一下线性代数。

    黄先开：很高兴有这样一个机会，跟大家交流我们考研特别是线性代数这部分复习的时候应该注意哪些问题。跟高等数学和概率统计来比较的话，我们经常感觉到线性代数概念比较多，公式比较多，要记的结论也比较多。再有就是先后知识的联系特别紧密，但是数学一到四实际上我们现在这个线性代数的题量已经规定了，数学一到四都考五个题，填空选择题三个，剩下两个大题，内容实际上也刚好是三大块：行列式矩阵可以看作是线性的基础，这样的话有这个基础以后，向量和线性方程组可以看作是同一件事情两个不同的表现形式，再有二次型，只有数学一和三做要求了。围绕这样一个向量和线性方程组基本每年考一个大题。围绕向量和二次型某种意义上来讲，也会看作是同一件事情两个不同方面，每年考一个大题。数学三和四不要求二次型，围绕特殊向量基本上也是考一个大题。这是我们整个线性代数它的总的概况。
    我们希望大家复学时候应该有针对性的把矩阵和行列式这块基础打好。然后把我们向量和线性方程组这部分典型的情况弄清楚。有针对性的进行系统的归纳和总结。这样不管考填空题还是选择题还是考大题，题一出来基本上我们就可以比较清楚的判断，拿到这种题有哪些典型的我可以分析的思路，有哪些是典型的可以求解的方法。在做题过程中间，有没有比如相应的做题技巧，有没有值得注意的一些隐含的条件，它是从哪一种角度来归类和分析的。这样的话我们总体上把握以后，拿到这种题我们就比较有信心的相应的找到一个比较简便的、快速的准确的求解的方法，这是总体概况介绍。下面我很高兴回答大家的一些具体问题。

    问：我是2005年理工科考生，平时没有什么基础，最好在什么时间开始复习，请指点一下？
    黄先开：现实考研同学准备的比较早，数学这块还确实涉及到的内容比较多，所以比较早的准备对你参加这种考试肯定是有帮助的，但是我想因为我们肯定更多网友接下来是2004年就要考的，我想对2005年考研同学的期望一定要踏踏实实的复习，应该扎扎实实的做题。在做题过程中间不断的归纳、总结、提炼，然后把知识形成一个体系。
    问：请老师估计一下今年大题目会在哪几个方面？
    黄先开：主持人说了主要今天针对线性代数这块，所以大题其实刚才大致谈了一下，线性代数根据我们刚才的分类，应该是很清楚了，行列式和矩阵应该说是整个线性代数的基础内容，所以这两个大题典型围绕向量和方程组，而且这种大题表现形式，表面考向量之间关系问题，另外一个题表面考向量问题，你能不能想一下是不是可以转化为二次型，数学二和四不要求二次型，这样就围绕向量考我们。

    问：我想问一下初等变换有哪些主要应用？
    黄先开：是我们矩阵里面最基础的问题，初等变换可以求向量组的秩，我们经常还会解方程组，这里头经常有同学有迷惑，我们求逆一般来讲我们构造这个矩阵是在右端加一个矩阵，我们强调行变换，我们解线性方程组时候要考虑线性矩阵和秩的问题，单纯求矩阵或者向量组的秩即可以做行变换也可以做列变换。如果我们把这个向量组当作是矩阵的列向量组，不仅仅求秩还要把其余向量，其实线性表示本质就是解方程组，这样我们跟初等变换一般情况下尽量能够习惯。
    问：关于线性代数的证明题内容关于向量的相关性概率很高吗？
    黄先开：线性相关和线性无关从考过情况来看，可以直接考，有时候也可能间接的考，比如要证明这个解系的时候，我们涉及到这个向量必须是线性无关的，要求证明它的线性无关，这个应该说是我们整个线性代数比较基础的问题，这种情况不见得直接考你，直接考当然也可以，但是结合我们线性方程组考，结合我们后面的向量，比如不同特征的向量，通过这种形式考也是比典型的表现形式，这是我们必须要掌握的。

    问：我是考数三感觉合同变换概念比较难理解，请老师大体讲一下？
    黄先开：合同变换是我们把二次型化为标准型的过程中间我们要引进的一个所谓的非退化的线性变换，这个地方我想相等一下必须是会退化的，也就是说我们这样一个变换的矩阵，必须是可逆的，所以我通过把二次型化为标准型的时候，我们就会发现把二次型化为标准型，转换为新的二次型它所对应的矩阵的时候，这个时候相等于对角型矩阵，但是一般我们找到一个非退化的矩阵，不见得刚好等于一个对角型矩阵，如果满足这样一个条件，我们定义这两个矩阵是合同的，就向对角化一样，那就是AP等于一个对角型的矩阵是对等，但是一般情况下不见得是对角型矩阵，我们说这两个是相似的。所以如果单纯从合同变换引出合同矩阵本身来讲，应该说这个概念不是特别难理解的，但是大家复习时候，应该注意到我有了这个合同矩阵的概念以后，这种合同矩阵它满足的相应的性质，从这个角度来理解可能就更好把握了，整个线性代数里矩阵之间有三种最典型的关系：一个两个矩阵式相似，一个两个矩阵式等价，还有两个两个矩阵式合同，应该注意这两种关系的联系和差别，我个人认为这三种关系里面实际上等价关系是最弱的一个关系，两个矩阵是相似，两个矩阵合同，那这两个矩阵一定是等价的，但是反过来不成立。相似与合同矩阵之间不能够互相推导。但是如果两个实对称矩阵是合同的，是相似的，那肯定是合同的。这就是说从整体上来看矩阵之间有三种关系，这三种关系里头的联系和差别如果能够从我刚才说这几个角度把握，我认为不管是什么矩阵，我们都能够比较好的理解和把握了。

    问：我觉得数学真题不是很难，我能做100分左右，但是我做你们出的卷子做60分就不错了，你们出的是不是很难，我复习应该以什么为主？
    黄先开：真题你之所以感觉不难，因为我们现在一般的复习指导书里头都把我们比较典型的比较有代表性的真题编到复习指南里头去，所以平常复习中间或多或少已经见过已经做过，所以你会感觉题不是特别难。但是作为一个比较好的模拟题，包括通过我们的聚骄公司出版的，这个有相当一部分工作是我参与的，是我编排的题，我们编的时候基本考虑第一这个题不能是已经考过的；第二这个题难度上应该尽可能的同真正考题是一致的，但是作为一个平常的模拟，其实我们还期望我们编的模拟题应该比实际考题稍微高一点点。有可能平常做模拟的时候，你会感觉这个题有难度。可能通过他的知识之间的联系，编排出来一些新的问题，到现在为止还没有考过，你经过锻炼之后，你考试时候就觉得轻松多大。这也是我们编模拟题最基本的考虑。
    我们个别同学做模拟题时候感觉不能达到理想分数，我认为这个很正常。所以大家做模拟题的时候可以考虑一天叫几个同学，大家在规定时间之内，比如三个小时跟实际考试一样，我把这个题做下来，做完以后什么都不想，第二天我们再叫一个同学一起，一个题一个题分析，我做这个题的时候到底概念没有理解出现了偏差，当然做对的地方好办，做题过程中出现偏差的地方可以仔细分析，是概念不清楚，还是计算粗心大意出了偏差，还是我也会计算，但是就是算不出来，算的过程中间可能有一些技巧没有把握。还有根本就不理解，这个条件是什么含义，有时候可能会出现所谓的隐含条件的问题，平常没有遇到这种情况。每一个条件我好象都看得懂，但是把条件放在一起，涉及到先后知识的综合问题，我不知道前后知识怎么连贯，这样的话通过我做题，不管你现在得多少分，每做一道题都能够仔细分析、归纳、总结，我想你每做一道题都会有提高，这样把全部模拟题都做下来以后，相当于你肯定会上升一个档次。所以我想强调的就是说一定要动手做题，做完以后一定要去归纳和总结。这样的话找到我自己的问题关键所在是什么地方，如果你背概念、公式都没有问题，但是最能够发现我们自己的弱点或者我没有复习到的地方我认为还是多做题。通过做题改进我现有掌握情况，直到能够真正全部系统的掌握考试大纲要求的内容。
    问：最后这个阶段是做模拟题为主还是反复做真题？
    黄先开：从我个人给同学的建议，我认为应该第一步比如在教材复习基础上，第二步在复习指导或者一般复习指南复习的基础上，第三步应该考虑到是去做真题。第三步还是做真题，把真题都消化了都全部做完了以后，第四步应该考虑做模拟题，模拟题应该要做。但是模拟题我的感觉就是也不见得贪多，应该是每做完一道以后一定要有一个反馈过程，问题到底出在什么地方，如果可能把存在的问题记下来，这样每做一次到底有哪些问题都记下来，最后几天里头，你把你存在的问题反复翻出来看看，这些问题到底是粗心大意，还是知识掌握不全面，还是有技巧，还是有隐含条件，还是前后知识连贯不清楚，把这些问题挖掘出来以后再归类，然后再提炼，我特别容易出现的地方有哪几个点，你把这几个点带进考场以后，这样我们就会比较好的发挥。
    问：线性代数可以跟高等数学某些知识点结合出题吗？这种题考的可能性大吗？
    黄先开：从1997年修订大大纲以后，1998年开始基本每一年都涉及三门学科交叉命题的情况，这里头量不会太大，可以这样做。比如我们最简单线性代数里面的行列式，通过行列式可以定义一个函数，高等数学里头对函数所有考的内容都可以通过行列式定义一个函数以后，把行列式的性质，行列式的概念、计算和高等数学考函数特性、函数的极限、导数、积分都会结合起来考。另外我们线性代数里头比如向量、矩阵、二次型这里头有可能都含量一个随机变量，我们可以通过随机变量求概率问题，只要平常复习时候稍微注意一下就可以，没有必要特别复习。
    问：请老师为准备2004年考生提点建议，剩下几天能否有冲刺和质的提高？您认为线性代数中整个在哪里？学习突破点在哪里？
    黄先开：回答这个问题，对整个命题的考虑实际上我们的同学应该稍微清楚一下，我们涉及到这个题型是填空、选择、计算、证明，之所以这样设计有他的考虑，填空题就是考知识点，考试大纲要求任何一个知识点都可能出题考你，但绝对不会是非常复杂的计算，所以不要期望哪个地方是重点，其实填空题往往在你认为不太容易出题的地方或者不会出题的地方，但是他可能会考一个比如简单填空题，我希望我们同学一定要全面系统复习。比如函数平均值的计算，这些都是一些应该说相对而言比较孤立的比较偏僻的一些知识点，但是会通过填空题考你。选择题考比较分析判断能力。计算证明题考我们思维灵活性，我们应用已有知识的灵活性。所以在这种情况下会经常的把多个知识点在一个题里头体现出来。
    我自己感觉数学这块如果是我期望一天两然后有一个本质突破，可能是比较困难的，但是最后这段时间利用好了对于我们整个成绩保持稳定，甚至有一个比较大的提高也是完全可以做到的。我们有的同学一开始花很多时间复习数学，最后即有专业课又有政治理论需要背，以前数学复习的很多是不是可以稍微放一放呢？你要是一段时间不做题突然提出来做感觉很生疏，所以最后一段时间里面千万不要说我以前复习的不错我放一放，千万不要有这种想法。数学题确实分值从100分提高到150分以后，对考研能否成功影响非常大。最后一个阶段突破和提高，通过模拟训练这是可以达到的，平时我们都是比较零碎的复习一个一个知识点，最后这个阶段突破提高在于能不能够很好的利用模拟题，做模拟训练，做这个模拟训练就是我刚才说的应该在规定时间里头做，做完以后一定要归纳和总结。
    我希望我们同学每做一套题，每归纳总结一遍以后都能够有一个提高，你不断发现问题，实际上什么事情都是熟能生巧，所以我们编模拟题时候也有这个考虑，一般难度可能比实际考题偏难一些，第二覆盖面，第三把同学容易出现问题的地方都要挖掘出来，你能够很高的利用模拟题。我们设计15套题，我们希望同学一个月之内做完，所以最终全部做完了，而且每做完以后都按照我们设计的想法归纳总结，我相信我们同学肯定会有一个突破。还问到线性代数的重点，线性代数填空题我希望我们同学注意，谈不到重点和非重点，选择题考概念比较，考分析、判断能力，经常把似是而非的概念混合在一起，主要是概念之间一些细微差异你清楚不清楚，所以重点如果我们非要说重点，特别是大题，我认为还是比较清楚的，每年肯定会围绕向量和线性方程组考一个大题，第二个就是特殊向量，也会结合二次型考，这两块是考得最多的，其他地方不是绝对的出大题，但是相对而言你要说重点我认为这两块是最重要的。
    问：请问关于实对称和非实对称在对角化时候选择变换矩阵有什么不同吗？
    黄先开：如果单纯谈对角化，实对称和非实对称没有本质上的差别，实对称矩阵本身就是普通矩阵，所以你单纯只要是对角化，你总是可以找到有关向量，然后构造出一个可逆对阵来，我都可以找他的特别向量，构造一个可逆矩阵，使得它们对角化。但是实对称矩阵比一般矩阵有更好性质，如果你把相同特征的向量钝角化了，然后再把所有特征向量放在一起单位化了，那你这个时候会找一个可逆矩阵，使得对角化，而且这个可逆矩阵还可以保证是一个钝角的。
    问：请问黄老师代数占多少分值？
    黄先开：我们数学一、数学二代数分20，数学三、四是25％。